Иванов Александр Павлович

We consider the planar problem of the dynamics of a body moving along a horizontal with two legs in contact with a rough horizontal plane. Possible types of movements of the body are discussed depending on the acceleration of the support: relative equilibrium, sliding on two legs, lifting off one leg without sliding on the other, lifting off one leg while sliding on the other. Based on the results obtained, it is shown that, when sliding on two legs, the friction force is generally anisotropic. This makes it possible to transport the body due to simple vibrations of the plane, for example, harmonic vibrations.

A simple model of a capsule robot is studied. The device moves upon a rough horizontal plane and consists of a capsule with an embedded motor and an internal moving mass. The motor generates a harmonic force acting on the bodies. Capsule propulsion is achieved by collisions of the inner body with the right wall of the shell. There is Coulomb friction between the capsule and the support, it prevents a possibility of reversal motion. A periodic motion is constructed such that the robot gains the maximal average velocity.

Обсуждается динамика уравновешенного тела сферической формы на шероховатой плоскости, управляемого при помощи движения встроенной оболочки. Последняя приводится в движение относительно корпуса за счет вращения двух омниколес, расположенных на концах диаметра и имеющих перпендикулярные оси вращения. Показано, что шар можно переместить в любую точку плоскости по прямолинейной или (в случае начального вырождения) ломаной траектории.

Обсуждается базовая задача динамики механических систем со связями — нахождение ускорений в зависимости от фазовых переменных. Показано, что в случае кулонова трения эта задача равносильна решению некоторого вариационного неравенства. Получены общие условия существования и единственности решения. Рассмотрен ряд примеров.

Для систем с идеальными связями обсуждаемая проблема была решена Лагранжем в его «Аналитической динамике» (1788), что стало поворотным пунктом в математизации механики. В 1829 году Гаусс вывел свой принцип, позволяющий получить решение из условия минимума некоторой квадратичной функции от ускорений, названной «принуждением». В 1872 году Джеллеттом были представлены примеры неединственности решения в системах с трением покоя, а в 1895 году Пенлеве показал, что при наличии трения скольжения наряду с неединственностью возможно отсутствие решений. Такие ситуации оказались серьезным препятствием к развитию теории, математических моделей и практического использования систем с сухим трением. Неожиданным и красивым продвижением явилась работа Пожарицкого, где автор распространил принцип Гаусса на частный случай, когда нормальные реакции могут быть определены из уравнений динамики независимо от величин коэффициентов трения. Тем не менее, для систем с трением Кулона, где нормальные реакции априори неизвестны, до сих пор имеются лишь частные результаты о существовании и единственности решений.

Предлагаемый здесь подход основан на комбинации принципа Гаусса в форме реакций с представлением алгебраической нелинейной системы уравнений относительно нормальных реакций в форме вариационного неравенства. Теория таких неравенств включает в себя результаты о существовании и единственности, а также развитые методы решения.

В данной работе рассмотрена задача о динамике тяжелого однородного шара, движущегося по инерции по неподвижной шероховатой горизонтальной плоскости под действием сил сухого трения. Считая коэффициент трения переменным, построена кривая его «переключения» с одного наперед заданного значения на другое так, что параллельный «пучок» аналогичных шаров, выпущенных из точек некоторого отрезка с одинаковыми линейными и угловыми скоростями, сходится к одной точке.

Рассматривается твердое тело, движущееся по шероховатой плоскости за счет перемещения внутренних масс. Повороты осуществляются за счет изменения кинетического момента ротора, что обусловливает асимметрию контактных напряжений и появление вертикального момента сил трения.

Рассматриваются динамические системы с разрывной правой частью. Известно, что траектории таких систем негладкие, а фундаментальная матрица решений разрывна. Это обусловливает наличие так называемых разрывных бифуркаций, в результате которых мультипликаторы меняются скачкообразно. Предложен метод ступенчатого сглаживания, позволяющий свести разрывные бифуркации к последовательности типичных бифуркаций: седло-узел, удвоение периода или Хопфа. Полученные результаты применяются к анализу известной системы с трением «ползун на ленте», служащей популярной моделью для описания фрикционных автоколебаний тормозной колодки. Ранее эта модель исследовалась лишь численно, что не позволяло сделать общие выводы о наличии автоколебаний. Новый метод позволяет провести полное качественное исследование возможных типов разрывных бифуркаций в этой системе и выделить области параметров, соответствующие устойчивым периодическим режимам.

Обсуждается динамика осесимметричного твердого тела, опирающегося кольцевой площадкой на горизонтальную шероховатую плоскость. Исследована взаимосвязь между характером закона трения и кривизной траектории тела. Для случая камня, движущегося по льду (керлинг), показано, что наблюдаемые эффекты можно качественно объяснить при использовании зависимости коэффициента трения от числа Гюмбеля. Разработана методика построения закона трения по экспериментальным данным. Показано, что имеющиеся данные можно количественно обосновать лишь при помощи анизотропного трения. Построена простейшая модель такого трения, обеспечивающая совпадение с экспериментом.

Проводится сравнительный анализ динамики однородного шара на плоскости с сухим трением для двух гипотез: 1) контакт точечный (неголономная постановка); 2) нормальная нагрузка распределена в круговом пятне контакта радиуса $ε$. Предполагается, что при данных активных силах и коэффициенте трения в первой постановке возможно движение без проскальзывания. Вид функции распределения нормальной нагрузки $φ$ в пятне контакта (вторая постановка) произволен, на нее накладываются лишь общие ограничения, обусловленные требованиями корректности предельного перехода. Показано, что при $ε → 0$ траектория шара с пятном контакта приближается к траектории шара с точечным контактом.

Ранее аналогичный результат был получен Фуфаевым [1] в предположении $φ = \rm{const}$. Доказана возможность аппроксимации реакций неголономных связей силами язкого трения [2,3], а также силами сухого трения с неограниченно большим коэффициентом [4].

Обсуждаются примеры нерегулярного поведения динамических систем с сухим трением. Предложена классификация фрикционных контактов по признакам их размерности, согласованности и возможности прерывания, а также базовые модели, демонстрирующие характерные особенности. Получены, в частности, условия бифуркаций семейств положений равновесия, а также формулы для построения матрицы монодромии в системах с трением. Показано, что системам с несогласованными контактами присущи сингулярности, приводящие к несуществованию или неоднозначности фазовых траекторий, обобщающие парадоксы Пэнлеве и Джеллетта. Вследствие такого поведения ряд полученных ранее результатов, включая проблему движения твердого тела по шероховатой плоскости, нуждаются в уточнении.

Рассматриваются системы с односторонней связью, допускающие в фазе контакта представление на фазовой плоскости. В этой плоскости строятся области, в которых выполнены условия сохранения контакта двух типов: 1) отрыв от связи при данных условиях невозможен; 2) знак нормальной реакции связи согласуется с ее односторонним характером. Эти два условия равносильны для идеальной связи [1, 2], а при наличии трения они могут различаться [3]. Безотрывным движениям соответствуют траектории, целиком лежащие в пересечении данных областей. Рассмотрены примеры круглого диска, движущегося по горизонтальной опоре с вязким трением, а также диска с острым краем на льду [4, 5].

Традиционно для проверки сохранения контакта применяется лишь второе из вышеуказанных условий, что может привести к ошибочным качественным выводам.

Классическая задача механики о движении тяжелого твердого тела по горизонтальной плоскости рассматривается в рамках теории систем с односторонними связями. При общих предположениях о характере трения исследуется вопрос о возможности отрыва тела от плоскости под действием реакции последней и сил инерции. Для систем с качением обнаружены новые сценарии возникновения движений с подпрыгиваниями и ударами. Полученные результаты применяются к исследованию стационарных движений диска. Показано, что
1) в отсутствие трения условия отрыва на стационарных движениях не выполняются. Однако при уменьшении угла $θ$ между осью симметрии и вертикалью до нуля движения, близкие к стационарным, необходимо сопровождаются отрывами;
2) точно такие же выводы справедливы для тонкого диска, катящегося по опоре без скольжения;
3) для диска ненулевой толщины в отсутствие скольжения условия отрыва выполнены на стационарных движениях в некоторой области в пространстве параметров, при этом угол $θ$ не менее $49^\circ$. При малых значениях $θ$ в окрестности стационарных движений контакт между телом и плоскостью не прерывается.