Бардин Борис Сабирович

The problem of the orbital stability of periodic motions of a heavy rigid body with a fixed point is investigated. The periodic motions are described by a particular solution obtained by D. N. Bobylev and V. A. Steklov and lie on the zero level set of the area integral. The problem of nonlinear orbital stability is studied. It is shown that the domain of possible parameter values is separated into two regions: a region of orbital stability and a region of orbital instability. At the boundary of these regions, the orbital instability of the periodic motions takes place.

We consider the planar circular restricted four-body problem with a small body of negligible mass moving in the Newtonian gravitational field of three primary bodies, which form a stable Lagrangian triangle. The small body moves in the same plane with the primaries. We assume that two of the primaries have equal masses. In this case the small body has three relative equilibrium positions located on the central bisector of the Lagrangian triangle.
In this work we study the nonlinear orbital stability problem for periodic motions emanating from the stable relative equilibrium. To describe motions of the small body in a neighborhood of its periodic orbit, we introduce the so-called local variables. Then we reduce the orbital stability problem to the stability problem of a stationary point of symplectic mapping generated by the system phase flow on the energy level corresponding to the unperturbed periodic motion. This allows rigorous conclusions to be drawn on orbital stability for both the nonresonant and the resonant cases. We apply this method to investigate orbital stability in the case of third- and fourth-order resonances as well as in the nonresonant case. The results of the study are presented in the form of a stability diagram.

The orbital stability of planar pendulum-like oscillations of a satellite about its center of mass is investigated. The satellite is supposed to be a dynamically symmetrical rigid body whose center of mass moves in a circular orbit. Using the recently developed approach [1], local variables are introduced and equations of perturbed motion are obtained in a Hamiltonian form. On the basis of the method of normal forms and KAM theory, a nonlinear analysis is performed and rigorous conclusions on orbital stability are obtained for almost all parameter values. In particular, the so-called case of degeneracy, when it is necessary to take into account terms of order six in the expansion of the Hamiltonian function, is studied.

The stability of the collinear libration point $L_1^{}$ in the photogravitational three-body problem is investigated. This problem is concerned with the motion of a body of infinitely small mass which experiences gravitational forces and repulsive forces of radiation pressure coming from two massive bodies. It is assumed that the massive bodies move in circular orbits and that the body of small mass is located in the plane of their motion. Using methods of normal forms and KAM theory, a rigorous analysis of the Lyapunov stability of the collinear libration point lying on the segment connecting the massive bodies is performed. Conclusions on the stability are drawn both for the nonresonant case and for the case of resonances through order four.

The orbital stability of pendulum-like oscillations of a heavy rigid body with a fixed point in the Bobylev – Steklov case is investigated. In particular, a nonlinear study of the orbital stability is performed for the so-called case of degeneracy, where it is necessary to take into account terms of order six in the Hamiltonian expansion in a neighborhood of the unperturbed periodic orbit.

A method is presented of constructing a nonlinear canonical change of variables which makes it possible to introduce local coordinates in a neighborhood of periodic motions of an autonomous Hamiltonian system with two degrees of freedom. The problem of the orbital stability of pendulum-like oscillations of a heavy rigid body with a fixed point in the Bobylev – Steklov case is discussed as an application. The nonlinear analysis of orbital stability is carried out including terms through degree six in the expansion of the Hamiltonian function in a neighborhood of the unperturbed periodic motion. This makes it possible to draw rigorous conclusions on orbital stability for the parameter values corresponding to degeneracy of terms of degree four in the normal form of the Hamiltonian function of equations of perturbed motion.

The motion of a rigid body satellite about its center of mass is considered. The problem of the orbital stability of planar pendulum-like rotations of the satellite is investigated. It is assumed that the satellite moves in a circular orbit and its geometry of mass corresponds to a plate. In unperturbed motion the minor axis of the inertia ellipsoid lies in the orbital plane.
A nonlinear analysis of the orbital stability for previously unexplored values of parameters corresponding to the boundaries of the stability regions is carried out. The study is based on the normal form technique. In the special case of fast rotations a normalization procedure is performed analytically. In the general case the coefficients of normal form are calculated numerically. It is shown that in the case under consideration the planar rotations of the satellite are mainly unstable, and only on one of the boundary curves there is a segment where the formal orbital stability takes place.

We consider a vibration-driven system which consists of a rigid body and an internal mass. The internal mass is a particle moving in a circle inside the body. The center of the circle is located at the mass center of the body and the absolute value of particle velocity is a constant. The body performs rectilinear motion on a horizontal plane, whereas the particle moves in a vertical plane. We suppose that dry friction acts between the plane and the body.
We have investigated the dynamics of the above system in detail and given a full description of the body’s motion for any values of its initial velocity. In particular, it is shown that there always exists a periodic mode of motion. Depending on parameter values, one of three types of this periodic mode takes place. At any initial velocity the body either enters a periodic mode during a finite time interval or it asymptotically approaches the periodic mode.

Рассматривается движение спутника относительно центра масс на круговой орбите. Исследуется задача об орбитальной устойчивости его плоских маятниковых колебаний. Спутник моделируется твердым телом, обладающим геометрией масс пластинки. Предполагается, что в невозмущенном движении наименьшая ось инерции спутника лежит в плоскости орбиты его центра масс, то есть плоскость спутника-пластинки перпендикулярна плоскости орбиты.
В данной работе выполнен нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских маятниковых колебаний для неисследованных ранее значений параметров задачи, отвечающих границам областей устойчивости в первом приближении, на которых реализуются резонансы первого или второго порядков. Доказано, что на указанных границах плоские маятниковые колебания либо формально орбитально устойчивы, либо орбитально устойчивы в третьем приближении.

Рассматривается задача об устойчивости резонансного вращения спутника относительно центра масс на эллиптической орбите. Резонансное вращение представляет собой плоское движение, при котором спутник, моделируемый твердым телом, вращаясь относительно одной из своих главных центральных осей инерции, направленной по нормали к плоскости орбиты, совершает один оборот в абсолютном пространстве за два оборота центра масс по орбите. Устойчивость указанного резонансного вращения по отношению к плоским возмущениям, сохраняющим направление оси вращения спутника неизменным, была подробно исследована ранее. В данной работе исследуется устойчивость резонансного вращения спутника с неравными моментами инерции; при этом учитываются как плоские, так и пространственные возмущения. При малых значениях эксцентриситета получены аналитические выражения для границ областей неустойчивости (параметрического резонанса). При произвольных значениях эксцентриситета в плоскости параметров задачи численно построены области устойчивости в линейном приближении. Вне указанных областей резонансное вращение неустойчиво по Ляпунову.

Рассматривается задача об орбитальной устойчивости плоских периодических движений динамически симметричного тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. Предполагается, что центр масс тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Невозмущенное периодическое движение представляет собой плоские маятниковые колебания или вращения тела, при которых одна из его главных осей инерции сохраняет неизменное горизонтальное положение.

В окрестности невозмущенного периодического движения введены локальные координаты, и уравнения возмущенного движения записаны в гамильтоновой форме. На основе линейного анализа найдены области орбитальной неустойчивости. Вне указанных областей выполнен нелинейный анализ с учетом членов до четвертой степени включительно в разложении функции Гамильтона в ряд в окрестности невозмущенного движения. Нелинейная задача об орбитальной устойчивости сведена к анализу устойчивости неподвижной точки симплектического отображения, генерируемого системой уравнений возмущенного движения. Коэффициенты симплектического отображения определялись численно. На основе их анализа получены строгие выводы об орбитальной устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения. Орбитальная устойчивость исследована аналитически в двух предельных случаях: колебания с малыми амплитудами и вращения с большими угловыми скоростями, когда удается ввести малый параметр.

Рассматривается задача об орбитальной устойчивости периодических движений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. Геометрия масс тела отвечает случаю Бобылева—Стеклова. Невозмущенное периодическое движение представляет собой плоские маятниковые колебания или вращения тела, при которых одна из его главных осей инерции сохраняет неизменное горизонтальное положение. Задача об устойчивости решается в нелинейной постановке.

В случае колебаний с малыми амплитудами и в случае вращений с большими угловыми скоростями удается ввести малый параметр и исследовать орбитальную устойчивость аналитически. При произвольных значениях параметров нелинейная задача об орбитальной устойчивости сведена к анализу устойчивости неподвижной точки симплектического отображения, генерируемого системой уравнений возмущенного движения. Коэффициенты симплектического отображения получены численно. На основе их анализа сделаны строгие выводы об орбитальной устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения. Результаты проведенного исследования представлены в виде диаграмм устойчивости в плоскости параметров задачи.

Рассматривается движение автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы вблизи ее положения равновесия. Предполагается, что в некоторой окрестности положения равновесия функция Гамильтона является аналитической и знакопеременной, а частоты линейных колебаний удовлетворяют отношению 3:1. Проведен подробный анализ укороченной системы, отвечающей нормализованному гамильтониану, в котором отброшены члены выше четвертой степени. Показано, что укороченная система может быть проинтегрирована в эллиптических функциях Якоби, а ее решения описывают либо периодические движения, либо движения асимптотические к периодическим, либо условно-периодические движения. На основании методов теории КАМ установлено, что большинство условно-периодических движений сохраняются и в полной системе. Более того, в достаточно малой окрестности положения равновесия траектории полной системы, не являющиеся условно-периодическими, образуют множество экспоненциально малой меры. Результаты исследования применены в задаче о движении динамически симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии.