Жалнин Алексей Юрьевич

Исследуются странные нехаотические автоколебания в диссипативной системе, состоящей из трех механических ротаторов, возбуждаемых постоянным вращательным моментом силы, приложенной к одному из них. Вынуждающая внешняя сила не является колебательной. Несоизмеримые частоты в колебательно-вращательной динамике системы возникают благодаря иррациональному соотношению диаметров задействованных элементов. Показано, что, при выходе системы из положения устойчивого равновесия, в ней могут возникать двух- и трехчастотные квазипериодические, хаотические, а также странные нехаотические автоколебания. Результаты работы подтверждаются численным расчетом ляпуновских показателей, фрактальных размерностей, спектральным анализом, а также специальными методами диагностики существования странной нехаотической динамики: методом рациональных аппроксимаций и анализом фазовой чувствительности аттрактора.

В работе рассматривается семейство связанных автоколебательных систем в виде парных генераторов ван дер Поля–Дюффинга и моделей нейронов Фицхью–Нагумо с попеременным возбуждением, вызванным периодической модуляцией параметров, и с последовательной передачей фазы колебаний между подсистемами. Показано, что, выбирая способы модуляции параметров и типы связи подсистем, можно наблюдать целый спектр
динамических режимов грубого хаоса, имеющих вид от квазигармонического, с хаотически «плывущей» фазой, до явно выраженных нейроподобных режимов, представляющих собой последовательность всплесков («бёрстов»), в которых динамика осцилляций («спайков») описывается хаотическим отображением. При этом 4-мерное отображение Пуанкаре, возникающее в стробоскопическом сечении соответствующей системы ОДУ, будет универсальным образом обладать гиперболическим странным аттрактором типа Смейла–Вильямса. Выводы подтверждаются анализом фазовых портретов и временных реализаций, численными расчетами спектров показателей Ляпунова и гистограмм распределений углов между устойчивым и неустойчивым касательными подпространствами хаотических траекторий.

Проведено численное исследование движения «кельтского камня» — твердого тела с выпуклой поверхностью — на шероховатой горизонтальной плоскости, в зависимости от параметров, с привлечением методов, использовавшихся ранее для анализа диссипативных систем и адаптированных применительно к неголономной механической модели. Построены и интерпретированы карты динамических режимов на плоскости параметров — полной механической энергии и угла относительного поворота геометрических и динамических главных осей твердого тела. Отмечено присутствие характерных образований в пространстве параметров, наблюдавшихся ранее только для диссипативных систем. Разработана и реализована методика вычисления полного спектра показателей Ляпунова. Показано, что на основе анализа показателей Ляпунова среди хаотических режимов динамики неголономной модели выделяются два класса, первый из которых характерен для области относительно больших, а второй — для области относительно малых значений энергии. Для системы, редуцированной к трехмерному отображению, первый отвечает странному аттрактору с одним положительным и двумя отрицательными показателями Ляпунова, а второй — хаотической динамике квазиконсервативного типа, с близкими по абсолютной величине положительным и отрицательным показателями, и приблизительно нулевым оставшимся показателем. Проиллюстрирован переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, причем наблюдаемые закономерности масштабного подобия соответствуют тем, которые были установлены для диссипативных систем. Проведено исследование странных аттракторов — представлены фазовые портреты, показатели Ляпунова, спектры Фурье, результаты вычисления фрактальной размерности.