Седова Юлия Викторовна

We discuss two mechanical systems with hyperbolic chaotic attractors of Smale – Williams type. Both models are based on Froude pendulums. The first system is composed of two coupled Froude pendulums with alternating periodic braking. The second system is Froude pendulum with time-delayed feedback and periodic braking. We demonstrate by means of numerical simulations that the proposed models have chaotic attractors of Smale – Williams type. We specify regions of parameter values at which the dynamics corresponds to the Smale – Williams solenoid. We check numerically the hyperbolicity of the attractors.

Обсуждаются примеры систем механики, где возможны квазипериодические движения, обусловленные иррациональным отношением радиусов вращающихся элементов, из которых составлена система. Для маятниковой системы с фрикционной передачей вращения между элементами в консервативном и диссипативном случае отмечается сосуществование бесконечного числа устойчивых неподвижных точек, а в автоколебательном случае — наличие множества аттракторов в виде предельных циклов, а также квазипериодических ротационных режимов. При квазипериодической динамике частоты спектральных составляющих зависят от параметров задачи, но имеется фиксированное иррациональное соотношение между частотами компонент, обусловленное геометрическими размерами элементов.

Рассматриваются ансамбли из нескольких хаотических осцилляторов Рёсслера. Показано, что типичным феноменом для таких систем является возникновение инвариантных торов разной и достаточно высокой размерности. Продемонстрирована возможность квазипериодической бифуркации Хопфа и каскада таких бифуркаций на базе торов возрастающей размерности. Найдены области существования резонансных торов, границы которых отвечают седло-узловым бифуркациям. Внутри областей резонансных режимов наблюдаются бифуркации удвоения торов и их разрушение.

Рассмотрена система трех линейно связанных логистических отображений. Обсуждается устройство плоскости параметров (величина связи — параметр удвоений периода). Подобрана конфигурация связи и значения параметров, для которых оказываются возможными режимы трехчастотной квазипериодичности. Обсуждаются бифуркации, связанные с такими режимами.

Проведено численное исследование движения «кельтского камня» — твердого тела с выпуклой поверхностью — на шероховатой горизонтальной плоскости, в зависимости от параметров, с привлечением методов, использовавшихся ранее для анализа диссипативных систем и адаптированных применительно к неголономной механической модели. Построены и интерпретированы карты динамических режимов на плоскости параметров — полной механической энергии и угла относительного поворота геометрических и динамических главных осей твердого тела. Отмечено присутствие характерных образований в пространстве параметров, наблюдавшихся ранее только для диссипативных систем. Разработана и реализована методика вычисления полного спектра показателей Ляпунова. Показано, что на основе анализа показателей Ляпунова среди хаотических режимов динамики неголономной модели выделяются два класса, первый из которых характерен для области относительно больших, а второй — для области относительно малых значений энергии. Для системы, редуцированной к трехмерному отображению, первый отвечает странному аттрактору с одним положительным и двумя отрицательными показателями Ляпунова, а второй — хаотической динамике квазиконсервативного типа, с близкими по абсолютной величине положительным и отрицательным показателями, и приблизительно нулевым оставшимся показателем. Проиллюстрирован переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, причем наблюдаемые закономерности масштабного подобия соответствуют тем, которые были установлены для диссипативных систем. Проведено исследование странных аттракторов — представлены фазовые портреты, показатели Ляпунова, спектры Фурье, результаты вычисления фрактальной размерности.

Предложено простое двумерное отображение, параметрами которого являются непосредственно след и якобиан матрицы возмущений неподвижной точки. На плоскости параметров оно демонстрирует основные универсальные бифуркационные сценарии: переход к хаосу через удвоения периода, картину квазипериодических колебаний и языков Арнольда. Продемонстрирована возможность реализации такого отображения в радиофизическом устройстве.

Рассматривается динамика связанной системы, составленной из подсистем, демонстрирующих бифуркацию Неймарка–Сакера. Проведено исследование связанных отображений на плоскости параметров, отвечающих за такую бифуркацию в индивидуальных подсистемах. На плоскости параметров, характеризующих числа вращения индивидуальных подсистем, обнаружены сложные структуры из квазипериодических режимов разной размерности и точных периодических резонансов разного порядка.

В настоящей работе представлен пример системы, динамика которой укладывается в концепцию «критического квазиаттрактора». Наряду с кратким обзором ранее полученных результатов, приведены новые, включающие иллюстрации скейлинга бассейнов притяжения элементов критического квазиаттрактора, ренормгрупповой анализ в присутствии аддитивного некоррелированного шума, определение универсальной константы перенормировки интенсивности шума, иллюстрации инициированныхшумом переходов между сосуществующими аттракторами.