Кузнецов Александр Петрович

Обсуждаются примеры систем механики, где возможны квазипериодические движения, обусловленные иррациональным отношением радиусов вращающихся элементов, из которых составлена система. Для маятниковой системы с фрикционной передачей вращения между элементами в консервативном и диссипативном случае отмечается сосуществование бесконечного числа устойчивых неподвижных точек, а в автоколебательном случае — наличие множества аттракторов в виде предельных циклов, а также квазипериодических ротационных режимов. При квазипериодической динамике частоты спектральных составляющих зависят от параметров задачи, но имеется фиксированное иррациональное соотношение между частотами компонент, обусловленное геометрическими размерами элементов.

Рассматриваются ансамбли из нескольких хаотических осцилляторов Рёсслера. Показано, что типичным феноменом для таких систем является возникновение инвариантных торов разной и достаточно высокой размерности. Продемонстрирована возможность квазипериодической бифуркации Хопфа и каскада таких бифуркаций на базе торов возрастающей размерности. Найдены области существования резонансных торов, границы которых отвечают седло-узловым бифуркациям. Внутри областей резонансных режимов наблюдаются бифуркации удвоения торов и их разрушение.

Рассмотрена система трех линейно связанных логистических отображений. Обсуждается устройство плоскости параметров (величина связи — параметр удвоений периода). Подобрана конфигурация связи и значения параметров, для которых оказываются возможными режимы трехчастотной квазипериодичности. Обсуждаются бифуркации, связанные с такими режимами.

Изучена динамика двух связанных генераторов квазипериодических колебаний. Обнаружена возможность полной и фазовой синхронизации генераторов в режиме квазипериодических колебаний. Методом карт динамических режимов и ляпуновских показателей изучены особенности устройства плоскостей параметров, на которых выявлены характерные структуры типа резонансной паутины Арнольда. Обсуждаются возможные квазипериодические бифуркации в системе.

Рассматривается задача о взаимодействии трех осцилляторов ван дерПоля с реактивной связью. Получено фазовое уравнение в необходимом порядке по величине связи. Динамика в фазовом приближении иллюстрируется с помощью метода ляпуновских карт и бифуркационного анализа. Обсуждаются существенные особенности реактивной связи. Представлена картина усложнения режимов для исходной системыпри увеличении управляющего параметра.

Обсуждаются условия, при которых в ансамбле взаимодействующих осцилляторов может наблюдаться сценарий Ландау–Хопфа последовательного рождения многочастотных режимов. Представлена модель в виде сети из пяти глобально связанных осцилляторов, характеризующихся разной степенью возбуждения. Даны иллюстрации рождения торов все более высокой размерности в результате последовательных квазипериодических бифуркаций Хопфа (Неймарка–Сакера).

Нефроны (структурные элементы почки) допускают описание с помощью модели в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это дает возможность использовать теорию динамических систем и бифуркаций при описании динамики как отдельного, так и связанных нефронов. В статье на основе модели парных нефронов с васкулярной (сосудистой) связью проводится исследование влияния неидентичности нефронов, выражающейся в неидентичности размахов колебаний радиусов их артериол в автономном состоянии, на поведение связанной системы. Изучена возможность возникновения так называемой области широкополосной синхронизации, когда один нефрон начинает подавлять собственные колебания другого нефрона, а также возможность возникновения режима гибели колебаний, когда оба нефрона перестают совершать колебания.

Предложено простое двумерное отображение, параметрами которого являются непосредственно след и якобиан матрицы возмущений неподвижной точки. На плоскости параметров оно демонстрирует основные универсальные бифуркационные сценарии: переход к хаосу через удвоения периода, картину квазипериодических колебаний и языков Арнольда. Продемонстрирована возможность реализации такого отображения в радиофизическом устройстве.

Рассматривается динамика связанной системы, составленной из подсистем, демонстрирующих бифуркацию Неймарка–Сакера. Проведено исследование связанных отображений на плоскости параметров, отвечающих за такую бифуркацию в индивидуальных подсистемах. На плоскости параметров, характеризующих числа вращения индивидуальных подсистем, обнаружены сложные структуры из квазипериодических режимов разной размерности и точных периодических резонансов разного порядка.

Рассматривается возбуждение двух связанных автоколебательных осцилляторов внешним гармоническим сигналом. Проводится сопоставление и сравнение с картиной синхронизации фазовых осцилляторов. Обсуждается вложение картины периодических, а также двух- и трехчастотных режимов в пространство параметров воздействующего сигнала. Даны иллюстрации режимов трехчастотных торов и резонансных двухчастотных торов, возникающих на их поверхности. Обнаружен ряд существенных отличий от бифуркационных механизмов разрушения синхронизации по сравнению со случаем фазовых осцилляторов.

Рассматривается задача о динамике фазовых осцилляторов при увеличении их числа в цепочке. Обсуждается устройство пространства параметров, отвечающих за частотные расстройки осцилляторов и величину диссипативной связи. Выявляются области полной синхронизации, квазипериодических колебаний разной размерности и хаоса. Обсуждаются метаморфозы картины при увеличении числа осцилляторов в цепочке. Используется метод карт ляпуновских показателей и модификация метода карт динамических режимов, визуализирующая резонансные двухчастотные торы разного типа.

Рассматривается действие импульсов на систему Рёсслера, в ситуации, когда автономная система находится до бифуркации седло-узел и характеризуется убегающими на бесконечность фазовыми траекториями. Показано, что внешнее импульсное воздействие приводит к возникновению в неавтономной системе устойчивых периодических и квазипериодических режимов. Наблюдается эффект синхронного отклика при взаимодействии внешнего сигнала с внутренним ритмом системы, связанным с «вращением» изображающей точки в трехмерном фазовом пространстве. Обнаружено, что такая система при определенных параметрах внешней силы может демонстрировать удвоения торов в стробоскопическом сечении Пуанкаре.

В настоящей работе представлен пример системы, динамика которой укладывается в концепцию «критического квазиаттрактора». Наряду с кратким обзором ранее полученных результатов, приведены новые, включающие иллюстрации скейлинга бассейнов притяжения элементов критического квазиаттрактора, ренормгрупповой анализ в присутствии аддитивного некоррелированного шума, определение универсальной константы перенормировки интенсивности шума, иллюстрации инициированныхшумом переходов между сосуществующими аттракторами.