Гудименко Алексей Иванович

Исследуется качественная структура и предложена классификация фазовых портретов относительного движения трех точечных вихрей в идеальной жидкости.

Численно и аналитически изучается движение трех точечных вихрей в конфигурации, близкой к сингулярной, т.е. когда два из трех вихрей достаточно близки друг к другу. Исследованы три случая движения, выделяемые положением центра завихренности относительно орбиты одного из вихрей, а именно когда центр завихренности лежит внутри, вне и на орбите. Для всех случаев получены асимптотики траекторий вихрей.

Изучается динамика возмущенных устойчивых равносторонней и коллинеарной конфигураций трех точечных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости. Получена асимптотика этой динамики к невозмущенной. Показано, что в первом приближении в системе координат, где вихри в отсутствие возмущения покоились, они вращаются вокруг их невозмущенного положения по эллиптическим орбитам. Вычислена угловая скорость этого вращения. Показано, что эксцентриситеты у всех орбит в каждой конфигурации совпадают. Вычислено отношение длин больших осей орбит двух произвольных вихрей. В случае равносторонней конфигурации это отношение совпадает с отношением обратных интенсивностей соответствующих вихрей. Вычислен угол между большими осями орбит двух произвольных вихрей. В случае равносторонней конфигурации он составляет ±120 градусов.

Численно и аналитически изучается гамильтонова динамическая система, описывающая двумерный вращающийся поток несжимаемой жидкости, возмущенный периодическим движением точечного вихря. Численно показано, что в условиях возмущения в центре вращающегося потока образуется область сильно перемешанных траекторий системы. Размер этой области по порядку величины совпадает с максимальным отклонением точечного вихря от центра вращения. Это область увеличивается с ростом амплитуды возмущения за счет разрушения и поглощения близлежащих резонансов, порядок и расположение которых определяется отношением частоты возмущения к частоте вращения потока. Картина резонансов существенно различается в зависимости от того, целочисленно это отношение или дробно. Результаты численного эксперимента обосновываются аналитически. В области, достаточно удаленной от вихря, получено представление гамильтониана в координатах угол-действие. На основе этого представления исследовано распределение на фазовой плоскости первичных резонансов системы. В частности, предложено разбиение резонансов на серии, адекватное наблюдаемым картинам резонансов. Вычислены ширины резонансов. Показано, что на больших расстояниях от вихря глобальная хаотизация траекторий системы происходить не может.