Чупахин Александр Павлович

Построено двумерное стационарное решение уравнений магнитной газовой динамики (МГД), описывающее состояние проводящей газовой среды при наличии магнитного поля. Ключевым уравнением при описании решения является уравнение Бендиксона с вырожденной особой точкой. На основе теории Фроммера исследовано поведение интегральных кривых вблизи этой точки и на бесконечности. Дана физическая интерпретация в терминах движения газа. Показано, что существуют два режима течения газа из линейно распределенного источника в поперечном магнитном поле, отличающиеся асимптотиками на большом удалении от источника.

В работе рассмотрена система уравнений, описывающая движение мелкой воды на сфере, вращающейся с переменной угловой скоростью. Исследована инвариантная подмодель ранга один, описывающая важный для приложений в океанологии и метеорологии случай затухающего со временем вращения. Исходная система сведена к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, решение которого строится численно. Полученные решения описывают на вращающейся сфере затухающий со временем источник, расположенный вдоль параллели выше экватора. Движение жидкости происходит в сферическом поясе и заканчивается стоком, расположенном на параллели в южном полушарии. Установлено существование сверхкритического и докритического режимов движения. Построенные решения описывают движения воздушных масс из полярных областей планеты, которые оказывают существенное влияние на формирование погоды.

Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) имеет многочисленные приложения в математической физике (нелинейная оптика, теория волн и другие). Алгебра симметрии $L_{12}$ и оптимальная система подалгебр для НУШ построена Ганьоном и Винтерницем (1989). Она является центральным расширением алгебры Галилея $L_{11}$, допускаемой уравнениями газовой динамики. На основе анализа универсальных инвариантов оптимальной системы подалгебр доказано, что трехмерные алгебры симметрии НУШ порождают 27 существенно различных подмоделей. В работе получен перечень инвариантных и частично инвариантных решений НУШ, отвечающих существенно трехмерным нелинейным структурам. Большинство этих решений является существенно новыми и не исследовались ранее. Их изучение является перспективным для таких приложений, как нелинейная теория волн, конденсат Бозе—Эйнштейна и др.