Казаков Алексей Олегович

В работе исследуется качение динамически несимметричного неуравновешенного шара (волчка Чаплыгина) в поле тяжести по плоскости в предположении отсутствия проскальзывания и прокручивания в точке контакта. Приводится описание странных аттракторов, существующих в системе, а также подробно описывается сценарий рождения одного из них через последовательность бифуркаций удвоения периода. Кроме того, проанализирована динамика системы в абсолютном пространстве и показано, что поведение точки контакта при наличии в системе странных аттракторов существенно зависит от характеристик аттрактора и может иметь как хаотический, так и близкий к квазипериодическому характер.

В работе приведены некоторые результаты исследования хаотической динамики в задаче Суслова, описывающей движение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, подчиненного неголономной связи $(\boldsymbol\omega,\boldsymbol e)=0$, где $\boldsymbol\omega$ — угловая скорость тела, $\boldsymbol e$ — единичный вектор, неподвижный в теле. В зависимости от параметров системы указаны случаи регулярного (в частности, интегрируемого) поведения, а также обнаружены различные притягивающие множества (в том числе странные аттракторы), типичные для диссипативных систем. В задаче указаны области фазового пространства, в которых консервативная и диссипативная динамика сосуществуют на достаточно мелких масштабах. Подробно исследован эффект реверса, ранее наблюдавшийся в движении кельтских камней.

В работе приведены результаты исследования регулярной и хаотической динамики в задаче Суслова, описывающей движение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, подчиненного неголономной связи, запрещающей вращение тела вокруг некоторой оси, неподвижной в теле. В зависимости от параметров системы указаны случаи регулярного (в частности, интегрируемого) поведения, а также обнаружены различные типы хаотического поведения. Кроме того, в задаче указаны области фазового пространства, в которых консервативная и диссипативная динамика сосуществуют на достаточно мелких масштабах (так называемая смешанная динамика, или псевдоконсерватиный хаос). Также в работе подробно исследован эффект реверса, ранее наблюдавшийся в движении кельтских камней.

В работе рассматривается движение неоднородного шара по плоскости под действием силы тяжести. В точке контакта шара с плоскостью наложена неголономная связь, запрещающая проскальзывание. Движения шара описываются обратимой неголономной системой, состоящей из шести дифференциальных уравнений. В случае произвольного смещения центра масс шара рассматриваемая система является неинтегрируемой системой без инвариантной меры. С помощью аналитических и численных методов показано, что при некоторых значениях параметров неуравновешенный шар демонстрирует эффект реверса (изменение направления вращения шара на противоположное). Кроме того, с помощью построения карт динамических режимов, в системе удалось обнаружить восьмерочный аттрактор, относящийся к настоящим странным аттракторам псевдогиперболического типа.

В работе рассмотрена система двух точечных вихрей одинаковой интенсивности, на которые воздействует звуковая волна. С помощью построения карт динамических режимов выявлены характерные для системы бифуркации неподвижных точек, а также построены бифуркационные диаграммы.

В работе исследуется задача о движение динамически несимметричного шара со смещенным центром масс по плоскости без проскальзывания и верчения. Показано, что на динамическое поведение шара существенное влияние оказывает тип обратимостей. В зависимости от типа обратимостей в задаче обнаружены два принципиально различных типа динамического хаоса: странные аттракторы и смешанная хаотическая динамика. В работе подробно описан сценарий возникновения странного аттрактора, а также приведены его основные свойства. Приведен ряд критериев, по которым, с помощью численных экспериментов, можно отличить смешанную динамику от других типов динамического хаоса.

В работе исследуются проблемы, связанные с интегрируемостью неголономных систем, описывающих качение эллипсоида по плоскости и сфере без проскальзывания и верчения. В качестве основного инструмента для рассматриваемых систем применяется отображение Пуанкаре. Изучение полученных отображений помогло обнаружить новый интегрируемый случай.

В работе обсуждается феномен топологической монодромии в интегрируемых гамильтоновых и неголономных системах. Предложен эффективный метод для ее вычисления и визуализации. Проведен сравнительный анализ топологической монодромии в задачах о качении эллипсоида вращения по гладкой и шероховатой плоскости. Первая из этих систем является гамильтоновой, вторая — неголономной. Показано, что с точки зрения монодромии никаких отличий между этими системами нет, и тем самым опровергнута гипотеза Кушмана и Дюистермаата о том, что топологическая монодромия дает топологическое препятствие к гамильтонизации задачи о качении эллипсоида вращения по шероховатой плоскости.

В настоящей работе изучается хаотическая динамика одной неголономной модели движения кельтского камня на плоскости. Исследуются сценарии возникновения хаоса и основное этапы его развития.